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Auf einer (Gelände-)Oberfläche ist die Neigung (oder auch: Hangneigung) an einem Punkt gegeben durch die Tangentialebene. Das steilste Gefälle auf dieser Tangentialebene bezeichnet man als Neigung (engl. slope). Die Neigung lässt sich somit berechnen, wenn man die Ableitungen der Oberfläche in der Richtung der x-Koordinate und diejenige in Richtung der y-Koordinate kennt.
Um die Neigung aus einem Höhenmodell zu berechnen, braucht man daher eine Methode, mit der man Ableitungen aus den Höhenwerten schätzen kann. Die gängigste Art, dies für ein gitterbasiertes Geländemodell zu tun, ist unter dem Namen „finite Differenzen“ bekannt (Horn 1981).
Um das Prinzip der finiten Differenzen zu erläutern, sei zuerst auf den eindimensionalen Fall eines Profils (statt einer Oberfläche) zurückgegriffen. Die folgende Abbildung zeigt, wie durch Bildung des Quotienten der Differenzen der Höhe (dz) und in der Ebene (dx) zuerst die erste Ableitung (slope), und davon ausgehend die zweite Ableitung (curvature) geschätzt werden kann. Die gewählte Schrittweite in x-Richtung ist in diesem Fall gleich 4. Das heisst, es wird die finite Differenz bezgl. der beiden zweiten Nachbarn nach links bzw. nach rechts vom zentralen Punkt aus gebildet. Diesem zentralen Punkt wird sodann der Wert der Ableitung zugewiesen. In der Abbildung sind der Zentralpunkt sowie dz und dx entsprechend rot markiert.
Für den zweidimensionalen Fall einer Oberfläche gibt (Horn 1981) die Formeln zur Schätzung der Neigung mittels finiten Differenzen:
mit
Die Nummerierung der Punkte in der 3-3-Nachbarschaft um den Zentralpunkt (z5) zur Bildung der Differenzen ist aus der nachstehenden Abbildung ersichtlich. In den Formeln der finiten Differenzen oben fällt auf, dass die Differenzen, die durch den Zentralpunkt führen, doppelt gewichtet sind.
In einem linear interpolierten dreiecksbasierten Geländemodell können
ebenfalls mit wenig Aufwand Richtungsableitungen berechnet werden. Die Höhe
innerhalb einer Dreiecksfacette kann bestimmt werden durch die Ebenengleichung
z = ax + by + c
, wobei x, y und z die
Koordinaten des Punktes sind, für den man die Höhe berechnen möchte. Durch die
drei Eckpunkte einer Dreiecksfacette können a, b, c berechnet werden (3
Gleichungen, 3 Unbekannte). Somit hat man die Ableitung (Neigung) in x-Richtung
(a) und die Ableitung in y-Richtung (b) bereits gefunden.