Diskretisierung des Raumes

Diskretisierung des Raumes und Genauigkeit

In einem GIS können Phänomene hauptsächlich auf zwei Arten modelliert werden: im Raster- und im Vektormodell.

Rastermodell:

In einem Rastermodell werden die räumlichen Objekte in gleich grosse Rasterzellen zerlegt. Bei diesem Modell ist die Diskretisierung des Raums offensichtlich. Es eignet sich besonders, um kontinuierliche physikalische Phänomene zu modellieren. In der Schweiz werden beispielsweise Temperaturen in unregelmässig verteilten Wetterstationen gemessen. Möchte man nun aus diesen über den Raum verstreuten Punktdaten eine Rasterkarte erstellen, so können über physikalische Gesetzmässigkeiten die Werte für die fehlenden Rasterzellen abhängig von der Distanz zu den Messorten berechnet (interpoliert) werden. Die Genauigkeit der Distanzermittlung ist dabei alleine von der Maschenweite des Rastermodells abhängig (10m, 20m usw.).

Vektormodell:

Beim Vektormodell ist die Diskretisierung nicht so offensichtlich. Die Objekte in einem Vektormodell sind randscharf repräsentiert. Es werden so vorzugsweise von Menschen gemachte, also künstliche Phänomene (engl. man-made objects) repräsentiert wie zum Beispiel Landparzellen oder Strassen. Die Diskretisierung ist hier abhängig von der Präzision, mit der die Daten in einem GIS gespeichert werden. Die zwei wichtigsten Datentypen sind ganze Zahlen (engl. integers) und Gleitkommazahlen (engl. floating point numbers). Bei beiden Datentypen sind jeweils positive wie negative Werte möglich. Bei Gleitkommazahlen wird zusätzlich zwischen einfacher (engl. single precision) und doppelter Genauigkeit (engl. double precision) unterschieden. Während bei Integer-Werten die Diskretisierung wie im Fall von Rastern offensichtlich ist, ist es vielleicht für Gleitkommazahlen nicht sofort ersichtlich, wo hier ein Problem bestehen soll.
Ein Zahlenbeispiel soll die Problematik dieser impliziten Diskretisierung erläutern: Die rationale Zahl 1/6 ist genau definiert wird sie jedoch in eine Gleitkommazahl umgewandelt, entsteht eine Zahl mit unendlich vielen Sechsern ab der zweiten Nachkommastelle: 0.166666666.... Ein digitaler Rechner hat nicht unendlich viele Stellen zur Verfügung, um eine Gleitkommazahl zu speichern. Bei der digitalen Repräsentation wird an einer bestimmten Stelle die Zahl einfach abgeschnitten, z. B. 0.166666. Bei Speicherung in Single Precision ist dies nach 6 bis 7 signifikanten Stellen der Fall, bei Double Precision sind es 15 bis 16 signifikante Stellen. Der Rest der Zahl ist nicht nutzbare Information. Digitalrechner nehmen somit eine Diskretisierung der Informationsdarstellung vor, was sich bei hochgenauen Berechnungen mit sehr grossen oder sehr kleinen Zahlen als Rundungsfehler auswirken kann. Vor allem bei der Subtraktion zweier fast gleich grosser Zahlen kann dieser Fehler auftreten.
Folgendes Experiment auf einem Taschenrechner kann diesen Sachverhalt verdeutlichen. Man tippe die folgende Subtraktion ein: 4*arctan(1) - 2*arcsin(1). Diese Subtraktion ergibt in den wenigsten Fällen 0, wie man dies erwarten würde, sondern eine sehr kleine Differenz z. B. -1EXP(-10).
Erstaunlicherweise ist für viele AnwenderInnen diese Diskretisierung nicht weiter störend, bzw. sie sind sich der Problematik überhaupt nicht bewusst. Es zeigt sich, dass man sich bei der Lösung eines Problems mit Computern immer genau überlegen muss, wie man seine Informationen vom Rechner repräsentieren lassen will.